도달 불가능한 기수

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1. 개요

도달 불가능한 기수는 수학, 특히 집합론에서 다루어지는 특별한 종류의 기수이다. 정칙 기수이면서 강극한 기수인 기수를 의미하며, 여러 조건과 동치 관계를 갖는다. 예를 들어, $V_\kappa$ 가 그로텐디크 전체이거나, $\langle V_\kappa,\in\rangle$ 가 선택 공리를 추가한 2차 논리 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이루는 경우 등이 있다. 도달 불가능 기수는 거대 기수의 일종으로, ZFC에서 그 존재를 증명할 수 없으며, 그 존재를 가정하면 ZFC의 일관성을 유지하면서도 다양한 모델을 구성할 수 있다. 범주론에서는 큰 범주의 문제를 해결하기 위해 사용되며, 모델 이론에서는 집합론의 모형을 구성하는 데 중요한 역할을 한다. 약하게 도달 불가능한 기수, α-도달 불가능 기수, 초도달 불가능 기수 등과 같은 관련 개념들이 존재하며, 그로텐디크 전체와 솔로베이 모형 구성에도 활용된다.

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도달 불가능한 기수
개요
유형	거대 기수
집합론	집합론
도입	펠릭스 하우스도르프(1908)
명칭	바츠와프 시에르핀스키, 알프레트 타르스키(1930)
추가 연구	에른스트 체르멜로(1930)
정의
정의	정칙적인 극한 기수
설명	기수 κ가 다음 조건을 만족하면 도달 불가능한 기수라고 한다. κ는 극한 기수이다. κ는 정칙 기수이다. λ < κ인 모든 λ에 대해, 2^λ < κ이다.
설명2	ZF 공리계가 무모순적이라면, 도달 불가능한 기수의 존재성을 증명할 수 없다. "만약 도달 불가능한 기수가 존재한다면, 그 수는 매우 크다. (예: ℵ₀보다 크다.)"
속성
속성	도달 불가능한 기수 κ는 강하게 도달 불가능한 기수이다. κ는 극한 기수이며, κ보다 작은 모든 기수 λ에 대해 2^λ < κ를 만족한다. κ는 약하게 도달 불가능한 기수이다. κ는 정칙 기수이며, κ보다 작은 모든 기수 λ에 대해 λ⁺ < κ를 만족한다.
설명	ZF 공리계에서 '강하게 도달 불가능한 기수가 존재한다'는 명제는 '약하게 도달 불가능한 기수가 존재한다'는 명제와 동치이다. ZFC 공리계에서는 강하게 도달 불가능한 기수와 약하게 도달 불가능한 기수의 개념이 일치한다.

2. 정의

도달 불가능한 기수는 정칙 기수이면서 강극한 기수인 기수이며, 약하게 도달 불가능한 기수는 정칙 기수이면서 극한 기수인 기수를 의미한다.^[6]^[7] 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 κ가 강 도달 불가능 기수이면 ''V''_κ는 ZFC의 모형이 되고, ZF에서 κ가 약 도달 불가능 기수이면 구성 가능 집합 ''L''_κ는 ZFC의 모형이 된다. 따라서 ZF와 "약 도달 불가능한 기수가 존재한다"는 사실을 결합하면 ZFC가 무모순임을 유도하며, 불완전성 정리에 의해 그 존재는 ZFC에서 증명할 수 없다. 즉, 도달 불가능한 기수는 거대 기수의 일종이다.

2. 1. 약하게 도달 불가능한 기수

모든 무한 기수는 정칙 기수이거나 극한 기수이다. 정칙 기수 조건과 극한 기수 조건은 서로 배타적이지 않다. 정칙 기수이자 극한 기수인 기수를 '''약하게 도달 불가능한 기수'''라고 한다. 일부 문헌에서는 비가산 기수라는 조건을 추가하기도 한다.^[6]^[7]

2. 2. 도달 불가능한 기수

기수

\kappa

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''도달 불가능한 기수'''라고 한다. (일부 문헌에서는

\kappa

가 비가산 기수라는 조건을 추가한다.)

정칙 기수인 강극한 기수이다.^[6]^[7]
$V_\kappa$ 는 그로텐디크 전체이다.
$\kappa=0$ 이거나, $\kappa=\aleph_0$ 이거나, 아니면 $\langle V_\kappa,\in\rangle$ 는 선택 공리를 추가한 2차 논리 체르멜로-프렝켈 집합론 $\mathsf{ZFC}^2$ 의 추이적 모형을 이룬다.^[6]^[13]
$\kappa=0$ 이거나, $\kappa=\aleph_0$ 이거나, 아니면 임의의 부분 집합 $U\subseteq V_\kappa$ 에 대하여, $\langle V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha\rangle$ 가 $\langle V_\kappa,\in,U\rangle$ 의 기본 부분 구조가 되는 순서수 $\alpha<\kappa$ 가 존재한다.^[6] (여기서 $U$ 또는 $U\cap V_\alpha$ 는 해석 $R(x)\iff x\in U$ 을 갖는 1항 관계 $R$ 를 뜻한다.)

선택 공리(ZFC)를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)은

\kappa

가 강비접근 기수일 때 폰 노이만 우주

V_\kappa

의

\kappa

번째 단계가 ZFC의 모델임을 함축한다. 또한, ZF는

\kappa

가 약비접근 기수일 때 괴델 우주

L_\kappa

가 ZFC의 모델임을 함축한다. 따라서, ZF와 "약비접근 기수가 존재한다"는 사실을 결합하면 ZFC가 일관적임을 함축한다. 그러므로, 비접근 기수는 일종의 거대 기수이다.

만약

V

가 ZFC의 표준 모델이고

\kappa

가

V

에서 비접근 기수라면,

#

V_\kappa

는 체르멜로-프렝켈 집합론의 의도된 모델 중 하나이다.

#

Def(V_\kappa)

는 전역 선택 공리를 제외하고, 크기의 제한을 치환과 일반 선택 공리로 대체하는 Mendelson 버전의 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론의 의도된 모델 중 하나이다.

# 그리고

V_{\kappa+1}

은 모스-켈리 집합론의 의도된 모델 중 하나이다.

여기서,

Def(X)

는 ''X''의 Δ₀-정의 가능한 부분 집합의 집합이다 (구성 가능 우주 참조).

V_\kappa

가 ZF의 표준 모델이기 위해

\kappa

가 비접근 기수이거나, 기수일 필요조차 없다.

V

가 ZFC의 모델이라고 가정하자.

V

가 강비접근 기수를 포함하지 않거나,

\kappa

를

V

에서 가장 작은 강비접근 기수로 취하면,

V_\kappa

는 강비접근 기수를 포함하지 않는 ZFC의 표준 모델이다. 따라서 ZFC의 일관성은 ZFC + "강비접근 기수가 없다"의 일관성을 함축한다. 마찬가지로,

V

가 약비접근 기수를 포함하지 않거나,

\kappa

를

V

의 모든 표준 하위 모델에 상대적으로 약비접근적인 가장 작은 서수라고 취하면,

L_\kappa

는 약비접근 기수를 포함하지 않는 ZFC의 표준 모델이다. 따라서 ZFC의 일관성은 ZFC + "약비접근 기수가 없다"의 일관성을 함축한다. 이는 ZFC가 비접근 기수의 존재를 증명할 수 없음을 보여주므로, ZFC는 비접근 기수의 부존재와 일관적이다.

ZFC가 비접근 기수의 존재와 일관적인지 여부는 더 미묘한 문제이다. ZFC의 일관성이 ZFC + "비접근 기수가 없다"의 일관성을 함축한다는 증명은 ZFC에서 형식화될 수 있다. 그러나 ZFC가 일관적이라고 가정하면, ZFC의 일관성이 ZFC + "비접근 기수가 있다"의 일관성을 함축한다는 증명은 ZFC에서 형식화될 수 없다. 이는 괴델의 제2 불완전성 정리에서 유래하는데, 이는 ZFC + "비접근 기수가 있다"가 일관적이라면, 자신의 일관성을 증명할 수 없음을 보여준다. ZFC + "비접근 기수가 있다"는 ZFC의 일관성을 증명하므로, ZFC가 자신의 일관성이 ZFC + "비접근 기수가 있다"의 일관성을 함축한다고 증명한다면, 이 후자의 이론은 자신의 일관성을 증명할 수 있게 되며, 이는 일관적이라면 불가능하다.

ZFC에서 형식화될 수 없는 비접근 기수의 존재에 대한 논쟁이 있다. 집합론의 특정 모델 ''M''의 모든 서수 클래스가, ''M''을 확장하고 ''M''의 원소의 멱집합을 보존하는 더 큰 집합론 모델이 존재한다면, 그 자체가 비접근 기수가 될 것이라는 것이다.

ZFC 아래에서 κ가 강 도달 불가능 기수일 때, ''V''_κ는 ZFC의 모형이 된다.

ZF 아래에서 κ가 약 도달 불가능 기수일 때, 구성 가능 집합의 ''L''_κ는 ZFC의 모형이 된다.

따라서 ZF+"약 도달 불가능 기수가 존재한다"는 ZFC가 무모순임을 유도하며, 불완전성 정리에 의해 그 존재는 ZFC에서 증명할 수 없다.

즉, 도달 불가능 기수는 거대 기수의 일종이다.

''V''가 ZFC의 표준 모형이고 κ가 ''V''의 도달 불가능 기수일 때,

''V''_κ는 ZF 집합론의 intended model이 되고,

Def(''V''_κ)는 NBG 집합론의 intended model이 되며,

''V''_κ+1는 MK 집합론의 intended model이 된다.

여기서, Def(X)는 X의 Δ₀ 정의 가능한 부분 집합이다(:en:constructible universe).

그러나, ''V''_κ가 ZF의 표준 모형이 되기 위해 κ가 도달 불가능 기수일 필요는 없다.

V가 ZFC의 모형이라고 하자.

V가 강 도달 불가능 기수를 가지고 있지 않더라도,

가지고 있더라도 κ를 V의 최소의 도달 불가능 기수라고 하면,

''V''_κ는 강 도달 불가능 기수를 갖지 않는 ZFC의 표준 모형이다.

즉, ZFC가 무모순하다면 ZFC+"강 도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"는 무모순하다.

마찬가지로 V가 약 도달 불가능 기수를 가지고 있지 않더라도,

가지고 있더라도 κ를 V의 최소의 약 도달 불가능 기수라고 하면,

''L''_κ는 약 도달 불가능 기수를 갖지 않는 ZFC의 표준 모형이다.

그러므로 ZFC가 무모순하다면 ZFC+"약 도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"도 무모순하다.

이로부터, ZFC에서는 도달 불가능 기수의 존재를 증명할 수 없고, ZFC는 도달 불가능 기수의 비존재와 모순되지 않는다.

ZFC가 도달 불가능 기수의 존재와 모순되지 않는가 하는 문제는 더 미묘하다.

"ZFC+"도달 불가능 기수가 있다"가 무모순하다면, ZFC+"도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"는 무모순하다"는 ZFC 안에서 형식화 가능하다.

그러나 "ZFC가 무모순하다면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다"라는 ZFC에서 형식화된 증명은 존재할 수 없다. 이는 괴델의 제2 불완전성 정리로부터 알 수 있다.

불완전성 정리로부터 ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다면 자신의 무모순성은 그 안에서 증명할 수 없다.

ZFC가 "ZFC가 무모순하다면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다"를 증명한다면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"에서도 같은 것을 나타낼 수 있게 되지만, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"는 ZFC의 무모순성을 증명하므로, 결국 ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 자신의 무모순성을 증명할 수 있게 되지만, 이는 모순이기 때문이다.

도달 불가능 기수의 존재성에 관한 ZFC에서 형식화할 수 없는 논의가 있다.

만약 집합론의 모형 ''M''의 확대 모형이 있다면, ''M''의 모든 서수에 의한 클래스는, 그 자체가 도달 불가능 기수가 된다는 것이다.

특정 술어를 만족하는 기수의 진클래스의 존재를 주장하는, 집합론의 중요한 공리가 여럿 존재한다.

도달 불가능 기수에 해당하는 공리는 모든 기수 μ에 대해 그보다 진정으로 큰 도달 불가능 기수 κ가 존재한다고 주장하는 것이다.

따라서 이 공리는 도달 불가능 기수의 무한 열이 존재함을 보장한다(이 공리는 종종 도달 불가능 기수 공리라고 불린다).

도달 불가능 기수의 존재와 마찬가지로, 이 공리는 ZFC 아래에서는 증명할 수 없다.

ZFC 아래에서, 도달 불가능 기수 공리는 그로텐디크와 베르디에의 '''universe axiom''' "임의의 집합 ''x''에 대해, ''x''

\in

''U''가 되는 그로텐디크 우주 ''U''가 존재한다."와 동치이다.

ZFC의 공리에 universe axiom (또는 동치인 도달 불가능 기수 공리)를 더한 것은 ZFCU로 표기된다(이는 ZFC에 urelements를 더한 것과 혼동하지 않도록 주의).

이 공리계는, 예를 들어 모든 범주는 적절한 요네다 매장을 가진다는 것을 증명하는 데 도움이 된다.

2. 3. 그로텐디크 전체

집합

\mathcal U

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 '''그로텐디크 전체'''(Grothendieck universe^영어)라고 한다.

$\mathcal U=V_\kappa$ 가 되는 도달 불가능한 기수 $\kappa$ 가 존재한다.^[8]
$\mathcal U$ 는 추이적 집합이며 다음 세 조건을 만족시킨다.
* 임의의 $x,y\in\mathcal U$ 에 대하여, $\{x,y\}\in\mathcal U$ 이다.
* 임의의 $x\in\mathcal U$ 에 대하여, $\mathcal P(x)\in\mathcal U$ 이다.
* 임의의 $x\in\mathcal U$ 에 대하여, $\bigcup x\in\mathcal U$ 이다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하면, 다음 두 명제가 서로 동치이다.

도달 불가능한 기수의 고유 모임이 존재한다. 즉, 임의의 기수 $\kappa$ 에 대하여, $\lambda>\kappa$ 인 도달 불가능한 기수 $\lambda$ 가 존재한다.
임의의 집합 $S$ 에 대하여, $S\in\mathcal U$ 인 그로텐디크 전체 $\mathcal U$ 가 존재한다.

그로텐디크와 베르디에의 'universe axiom'(임의의 집합 ''x''에 대해, ''x''

\in

''U''가 되는 그로텐디크 우주 ''U''가 존재한다)은 ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론) 아래에서 도달 불가능 기수 공리와 동치이다.

3. 성질

도달 불가능한 기수는 집합론의 여러 모형에서 중요한 역할을 하며, 특히 무모순성과 관련된 논의에서 핵심적인 역할을 한다.

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 κ가 강 도달 불가능 기수이면, ''V''_κ는 ZFC의 모형이 된다. ZF에서 κ가 약 도달 불가능 기수이면, 구성 가능 집합 ''L''_κ는 ZFC의 모형이 된다. 따라서 ZF와 "약 도달 불가능 기수가 존재한다"는 명제를 결합하면 ZFC가 무모순임을 보일 수 있다. 그러나 괴델의 불완전성 정리에 의해 ZFC에서는 약 도달 불가능 기수의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 도달 불가능 기수는 거대 기수의 일종이다.^[6]

만약 $V$ 가 ZFC의 표준 모델이고 $\kappa$ 가 $V$ 에서 도달 불가능 기수라면,

$V_\kappa$ 는 체르멜로-프렝켈 집합론의 모델이다.
$Def(V_\kappa)$ 는 전역 선택 공리를 제외하고, 크기 제한 공리꼴을 치환 공리꼴과 일반 선택 공리로 대체한 NBG 집합론의 모델이다.
$V_{\kappa+1}$ 은 모스-켈리 집합론의 모델이다.

여기서

Def(X)

는 ''X''의 Δ₀-정의 가능한 부분 집합들의 집합이다(구성 가능 우주 참조).

V

가 ZFC의 모델일 때,

V

에 강 도달 불가능 기수가 없거나,

\kappa

가

V

에서 가장 작은 강 도달 불가능 기수라면,

V_\kappa

는 강 도달 불가능 기수를 포함하지 않는 ZFC의 표준 모델이다. 따라서 ZFC의 일관성은 ZFC + "강 도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"의 일관성을 함의한다. 마찬가지로,

V

에 약 도달 불가능 기수가 없거나,

\kappa

가

V

의 모든 표준 부분 모델에 대해 상대적으로 약 도달 불가능한 가장 작은 순서수라면,

L_\kappa

는 약 도달 불가능 기수를 포함하지 않는 ZFC의 표준 모델이다. 따라서 ZFC의 일관성은 ZFC + "약 도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"의 일관성을 함의한다. 이는 ZFC가 도달 불가능 기수의 존재를 증명할 수 없음을 보여주며, ZFC는 도달 불가능 기수의 부재와 일관적이다.

ZFC가 도달 불가능 기수의 존재와 일관적인지 여부는 더 미묘한 문제이다. 괴델의 제2 불완전성 정리에 따르면, ZFC + "도달 불가능 기수가 존재한다"가 일관적이라면, 이 이론은 자신의 일관성을 증명할 수 없다.

집합론의 특정 모델 ''M''의 모든 순서수 클래스가, ''M''을 확장하고 ''M''의 원소의 멱집합을 보존하는 더 큰 집합론 모델이 존재한다면, 그 자체가 도달 불가능 기수가 될 것이라는 논의가 있다.

3. 1. 함의 관계

모든 강극한 기수는 극한 기수이므로, 모든 도달 불가능한 기수는 약하게 도달 불가능한 기수이다. 일반화 연속체 가설이 성립하는 경우, 반대로 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 도달 불가능한 기수이다. 기수의 성질에 대한 함의 관계는 다음과 같다.

:초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 약하게 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

3. 2. 모형 이론적 성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 도달 불가능한 기수

\kappa

에 대해 폰 노이만 전체의 단계

V_\kappa

는 그로텐디크 전체를 이루며 ZFC의 모형이다. 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서, 약하게 도달 불가능한 기수

\kappa

에 대해 구성 가능 전체의 부분 집합

L_\kappa

는 ZFC의 모형이다. 따라서 ZF + "약하게 도달 불가능한 기수의 존재"는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다. 불완전성 정리에 의하여 만약 ZF가 일관적이라면 ZFC에서는 약하게 도달 불가능한 기수의 존재를 보일 수 없다.^[6]

\kappa\ge\aleph_0

일 때, 그로텐디크 전체

V_\kappa

는 선택 공리를 추가한 (1차 논리) 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이룬다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

만약

V

가 ZFC의 표준 모델이고

\kappa

가

V

에서 도달 불가능한 기수라면,

$V_\kappa$ 는 체르멜로-프렝켈 집합론의 의도된 모델 중 하나이다.
$Def(V_\kappa)$ 는 전역 선택 공리를 제외하고, 크기의 제한을 치환과 일반 선택 공리로 대체하는 멘델슨(Mendelson) 버전의 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론의 의도된 모델 중 하나이다.
$V_{\kappa+1}$ 은 모스-켈리 집합론의 의도된 모델 중 하나이다.

여기서,

Def(X)

는 ''X''의 Δ₀-정의 가능한 부분 집합의 집합이다 (구성 가능 전체 참조).

3. 3. 강제법

만약 하나의 비가산 도달 불가능한 기수가 존재한다면, 다음이 무모순적임을 보일 수 있다.^[9]^[6]

선택 공리를 포함하지 않는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)
의존적 선택 공리(DC)
모든 실수 집합이 르베그 가측 집합이라는 명제 (Σ_Leb = 𝒫(ℝ))

구체적으로, 위 공리들이 성립하는 솔로베이 모형을 구성할 수 있다.

다음 이론들의 비모순성이 일치한다.^[10]^[6] (즉, 이들 가운데 하나가 모순적이라면 모두 모순적이며, 반대로 하나가 비모순적이라면 모두 비모순적이다.)

ZFC + 하나의 비가산 도달 불가능한 기수가 존재한다.
ZFC + 모든 $\boldsymbol\Sigma^1_3$ 실수 집합들은 르베그 가측 집합이다.
ZF + DC + 모든 실수 집합들은 르베그 가측 집합이다.

4. α-도달 불가능 기수와 초도달 불가능 기수

α-도달 불가능 기수와 초도달 불가능 기수는 도달 불가능 기수의 개념을 확장한 것이다. 이 개념들은 더 큰 기수를 다루기 위해 사용된다.^[2]

α-도달 불가능 기수는 하위 도달 불가능 기수를 세는 함수의 고정점으로 설명할 수 있다. 예를 들어 ψ₀(λ)를 λ번째 도달 불가능 기수로 표기하면, ψ₀의 고정점은 1-도달 불가능 기수가 된다.

'''hyper-도달 불가능'''(초도달 불가능)이라는 용어는 여러가지 의미로 사용될 수 있는데, κ-도달 불가능인 기수 κ를 가리켜 사용하기도 한다.

마흘로 기수는 도달 불가능하고, 초도달 불가능하며, 계속해서 더 큰 기수로 확장될 수 있다.

4. 1. α-도달 불가능 기수

"''α''-도달 불가능 기수"라는 용어는 모호하며, 저자마다 서로 다른 정의를 사용한다. 한 가지 정의는 다음과 같다. 어떤 기수 κ가 모든 서수 ''α''에 대해 도달 불가능하고, 모든 서수 ''β'' < ''α''에 대해, κ 미만의 ''β''-도달 불가능 기수의 집합이 κ에서 무제한(정칙 기수)인 경우, κ를 '''''α''-도달 불가능'''''하다고 한다. 이 정의에서 0-도달 불가능 기수는 강하게 도달 불가능 기수와 같다.^[2]

또 다른 정의는, 기수 κ가 정칙 기수이고 모든 서수 ''β'' < ''α''에 대해, κ 미만의 ''β''-약하게 도달 불가능 기수의 집합이 κ에서 무제한인 경우, κ를 '''''α''-약하게 도달 불가능'''''이라고 한다. 이 정의에서 0-약하게 도달 불가능 기수는 정칙 기수이고, 1-약하게 도달 불가능 기수는 약하게 도달 불가능 기수이다.^[2]

''α''-도달 불가능 기수는 그보다 작은 도달 불가능 기수를 세는 함수의 고정점으로 설명할 수 있다. 예를 들어, ''ψ''₀(''λ'')를 ''λ''번째 도달 불가능 기수로 표기하면, ''ψ''₀의 고정점은 1-도달 불가능 기수가 된다. ''ψ''_''β''(''λ'')를 ''λ''번째 ''β''-도달 불가능 기수로 놓으면, ''ψ''_''β''의 고정점은 (''β''+1)-도달 불가능 기수(''ψ''_''β''+1(''λ''))가 된다. ''α''가 극한 서수이면, ''α''-도달 불가능 기수는 모든 ''β'' < ''α''에 대한 모든 ''ψ''_''β''의 고정점(''ψ''_''α''(''λ'')는 ''λ''번째 기수)이다. 이렇게 연속적으로 더 큰 기수를 생성하는 함수의 고정점을 찾는 과정은 거대 기수 연구에서 일반적이다.^[2]

4. 2. 초도달 불가능 기수

'''초도달 불가능'''(hyper-inaccessible)이라는 용어는 모호하며, 최소 세 가지의 서로 양립할 수 없는 의미를 가진다. 많은 저자는 이 용어를 강하게 도달 불가능 기수(1-도달 불가능)의 정칙 극한을 나타내는 데 사용한다. 다른 저자는 -도달 불가능함을 의미하는 데 사용한다 (-도달 불가능일 수는 없다). 가끔 마흘로 기수를 의미하는 데 사용되기도 한다.^[2]

4. 3. α-초도달 불가능 기수

α^영어-도달 불가능 기수는 하위 도달 불가능 기수를 세는 함수의 고정점으로 설명할 수 있다. 예를 들어, ''ψ''₀(''λ'')을 ''λ''번째 도달 불가능 기수로 표기하면, ''ψ''₀의 고정점은 1-도달 불가능 기수가 된다. ''ψ''_''β''(''λ'')을 ''λ''번째 ''β''-도달 불가능 기수로 놓으면, ''ψ''_''β''의 고정점은 (''β''+1)-도달 불가능 기수(값 ''ψ''_''β''+1(''λ''))가 된다. ''α''가 극한 서수이면, α^영어-도달 불가능 기수는 모든 ''β'' < ''α''에 대한 모든 ''ψ''_''β''의 고정점이다(값 ''ψ''_''α''(''λ'')는 ''λ''번째 기수이다). 이렇게 연속적으로 더 큰 기수를 생성하는 함수의 고정점을 찾는 과정은 거대 기수 연구에서 일반적으로 발견된다.^[1]

순서수 α에 대해, 기수 κ가 '''α-도달 불가능'''하다는 것은, κ가 도달 불가능하며, β < α인 모든 순서수 β에 대해, κ 미만의 β-도달 불가능한 기수의 집합이 κ 안에서 비유계인 것이다 (κ는 정칙이므로, 이 집합의 농도는 κ이다).^[1]

"도달 불가능" 대신 "약하게 도달 불가능"을 사용하여 "약하게 α^영어-도달 불가능"에 대한 정의를 만들 수 있다.^[1]

5. 예

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)이 일관적이라면, ZFC에서 존재를 증명할 수 있는 모든 비가산 기수는 (약하게) 도달 불가능하지 않다.

가산 도달 불가능한 기수는 0과 $\aleph_0$ 밖에 없다. 1은 정칙 기수이지만 따름 순서수이므로 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다. 즉, 가산 그로텐디크 전체는 다음 두 개 밖에 없다.

공집합 $V_0=\varnothing$
계승적 유한 집합의 모임 $V_\omega$

만약 ZFC가 일관적이라면, ZFC에서 그 존재를 증명할 수 있는 그로텐디크 전체는 이 두 개 밖에 없다.

6. 역사

펠릭스 하우스도르프는 1908년에 약하게 도달 불가능한 기수의 개념을 도입하였다.^[11]^[6]

1930년에는 바츠와프 시에르핀스키와 알프레트 타르스키^[12]^[7], 에른스트 체르멜로^[13]^[14]^[6]가 도달 불가능한 기수의 개념을 도입하였다. 체르멜로는 "극한수"(Grenzzahl|그렌츠찰^de)라고 불렀으며, 2차 논리 ZFC의 추이적 모형이 도달 불가능한 기수 $\kappa$ 에 대하여 $V_\kappa$ 의 꼴임을 증명하였다. 1938년 알프레트 타르스키는 도달 불가능한 기수의 존재를 집합론의 공리로 제시하였다.^[15]^[16]^[6]

1950년대까지는 "도달 불가능한 기수"는 약하게 도달 불가능한 기수를, 더 강한 개념은 "강하게 도달 불가능한 기수"(strongly inaccessible cardinal^영어)를 의미했다. 그러나 1950년대부터는 "도달 불가능한 기수"가 더 강한 개념을 뜻하게 되었다.

1960년대에 알렉산더 그로텐디크는 범주론의 집합론적 문제를 해결하기 위해 그로텐디크 전체 개념을 도입하였다.^[17] 1970년 로버트 솔로베이는 도달 불가능한 기수가 존재하면, 모든 실수 집합이 르베그 가측 집합이 되고 선택 공리가 의존적 선택 공리로 약화되는 체르멜로-프렝켈 집합론 모형이 존재함을 증명하였다.^[9] 1984년 사하론 셸라흐는 솔로베이 모형에서 도달 불가능한 기수가 필요함을 증명하여,^[10] 도달 불가능한 기수는 모형 이론에서 다시 주목받게 되었다.

쿠르트 괴델은 도달 불가능한 기수의 존재에 대해 긍정적으로 평가하였다. 토마시 예흐(Tomáš J. Jech^cs, 1944~) 또한 도달 불가능한 기수가 작은 기수들과 ℵ₀(무한 기수)와 유한 기수의 관계와 같다고 평가했다.^[7]

6. 1. 약하게 도달 불가능한 기수

펠릭스 하우스도르프가 1908년에 약하게 도달 불가능한 기수의 개념을 도입하였다.^[2]

6. 2. 도달 불가능한 기수

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC) 아래에서 κ가 강 도달 불가능 기수일 때, ''V''_κ는 ZFC의 모형이 된다. ZF 아래에서 κ가 약 도달 불가능 기수일 때, 구성 가능 집합 ''L''_κ는 ZFC의 모형이 된다. 따라서 ZF+"약 도달 불가능 기수가 존재한다"는 ZFC가 무모순임을 유도하며, 불완전성 정리에 의해 그 존재는 ZFC에서 증명할 수 없다. 즉, 도달 불가능 기수는 거대 기수의 일종이다.

''V''가 ZFC의 표준 모형이고 κ가 ''V''의 도달 불가능 기수일 때,

''V''_κ는 ZF 집합론의 의도된 모델이 된다.
Def(''V''_κ)는 NBG 집합론의 의도된 모델이 된다.
''V''_κ+1는 MK 집합론의 의도된 모델이 된다.

여기서, Def(X)는 X의 Δ₀ 정의 가능한 부분 집합이다(:en:constructible universe). 그러나 ''V''_κ가 ZF의 표준 모형이 되기 위해 κ가 도달 불가능 기수일 필요는 없다.

V가 ZFC의 모형이라고 가정할 때, V가 강 도달 불가능 기수를 가지고 있지 않거나, κ를 V의 최소의 도달 불가능 기수라고 하면, ''V''_κ는 강 도달 불가능 기수를 갖지 않는 ZFC의 표준 모형이다. 즉, ZFC가 무모순하다면 ZFC+"강 도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"는 무모순하다. 마찬가지로 V가 약 도달 불가능 기수를 가지고 있지 않거나, κ를 V의 최소의 약 도달 불가능 기수라고 하면, ''L''_κ는 약 도달 불가능 기수를 갖지 않는 ZFC의 표준 모형이다. 그러므로 ZFC가 무모순하다면 ZFC+"약 도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"도 무모순하다. 이로부터 ZFC에서는 도달 불가능 기수의 존재를 증명할 수 없고, ZFC는 도달 불가능 기수의 비존재와 모순되지 않는다.

ZFC가 도달 불가능 기수의 존재와 모순되지 않는가 하는 문제는 더 미묘하다. 앞 단락에서 보았듯이 "ZFC+"도달 불가능 기수가 있다"가 무모순하다면, ZFC+"도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"는 무모순하다"는 ZFC 안에서 형식화 가능하다. 그러나 "ZFC가 무모순하다면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다"라는 ZFC에서 형식화된 증명은 존재할 수 없다. 이는 괴델의 제2 불완전성 정리로부터 알 수 있다.

괴델의 제2 불완전성 정리에 따르면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다면 자신의 무모순성은 그 안에서 증명할 수 없다. ZFC가 "ZFC가 무모순하다면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다"를 증명한다면, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"에서도 같은 것을 나타낼 수 있게 되지만, ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"는 ZFC의 무모순성을 증명하므로, 결국 ZFC+"도달 불가능 기수가 존재한다"가 자신의 무모순성을 증명할 수 있게 되지만, 이는 모순이기 때문이다.

도달 불가능 기수의 존재성에 관한 ZFC에서 형식화할 수 없는 논의가 있다. 만약 집합론의 모형 ''M''의 확대 모형이 있다면, ''M''의 모든 서수에 의한 클래스는, 그 자체가 도달 불가능 기수가 된다는 것이다. 특정 술어를 만족하는 기수의 진클래스의 존재를 주장하는, 집합론의 중요한 공리가 여럿 존재한다. 도달 불가능 기수에 해당하는 공리는 모든 기수 μ에 대해 그보다 진정으로 큰 도달 불가능 기수 κ가 존재한다고 주장하는 것이다. 따라서 이 공리는 도달 불가능 기수의 무한 열이 존재함을 보장한다(이 공리는 종종 도달 불가능 기수 공리라고 불린다). 도달 불가능 기수의 존재와 마찬가지로, 이 공리는 ZFC 아래에서는 증명할 수 없다. ZFC 아래에서, 도달 불가능 기수 공리는 그로텐디크와 베르디에의 '''우주 공리''', 즉 "임의의 집합 ''x''에 대해, ''x''

\in

''U''가 되는 그로텐디크 우주 ''U''가 존재한다."와 동치이다. ZFC의 공리에 우주 공리 (또는 동치인 도달 불가능 기수 공리)를 더한 것은 ZFCU로 표기된다(이는 ZFC에 urelements를 더한 것과 혼동하지 않도록 주의). 이 공리계는, 예를 들어 모든 범주는 적절한 요네다 매장을 가진다는 것을 증명하는 데 도움이 된다.

이것은 거대 기수 공리보다 상대적으로 약하다. 이는 다음 절의 표현으로 말하자면 ∞가 1-도달 불가능이라고 말하는 것과 같다. 여기서 ∞는 V에 속하지 않는 최소의 순서수, 즉 대상 모델의 모든 순서수로 이루어진 클래스이다.

6. 3. 그로텐디크 전체

1960년대에 알렉산더 그로텐디크는 범주론의 집합론적 문제를 해결하기 위해 그로텐디크 전체의 개념을 도입하였다. ZFC 아래에서, 도달 불가능 기수 공리는 그로텐디크와 장 루이 베르디에의 '''universe axiom''' "임의의 집합 ''x''에 대해, ''x''

\in

''U''가 되는 그로텐디크 우주 ''U''가 존재한다."와 동치이다. ZFC의 공리에 universe axiom (또는 동치인 도달 불가능 기수 공리)를 더한 것은 ZFCU로 표기된다(이는 ZFC에 urelements를 더한 것과 혼동하지 않도록 주의). 이 공리계는, 예를 들어 모든 범주는 적절한 요네다 매장을 가진다는 것을 증명하는 데 도움이 된다.

6. 4. 솔로베이 모형

로버트 솔로베이는 1970년에 도달 불가능한 기수가 존재한다면, 모든 실수 집합이 르베그 가측 집합이 되는 (그리고 선택 공리가 의존적 선택 공리로 약화되는) 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이 존재한다는 것을 증명하였다. 1984년에 사하론 셸라흐는 솔로베이의 모형에서 도달 불가능한 기수가 꼭 필요하다는 사실을 증명하였다.^[1] 이로써 도달 불가능한 기수는 모형 이론에서 다시 주목받게 되었다.^[2]

6. 5. 쿠르트 괴델의 평가

쿠르트 괴델은 도달 불가능한 기수의 존재에 대해 긍정적인 입장을 보였다. 그는 집합론의 공리계가 닫혀 있지 않다고 주장했다. 흐르바체크와 예흐가 1999년에 제시한 논쟁에 따르면, 집합론의 특정 모델 ''M''의 모든 서수 클래스가 ''M''을 확장하고 ''M''의 원소의 멱집합을 보존하는 더 큰 집합론 모델이 존재한다면, 그 자체가 비접근 기수가 될 것이라고 한다.

6. 6. 토마시 예흐의 평가

토마시 예흐는 도달 불가능한 기수와 그보다 작은 기수의 관계가 ℵ₀(무한 기수)와 유한 기수의 관계와 같다고 평가했다.^[2]

7. 응용

도달 불가능한 기수는 범주론과 모델 이론 등 현대 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

범주론에서는 "큰" 범주의 집합론적인 문제를 피하기 위해 그로텐디크 전체 개념과 함께 쓰인다.^[20] 모델 이론에서는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모델을 구성하는 데 사용된다. 특히, 강 도달 불가능 기수 κ에 대해, ''V''_κ는 ZFC의 모델이 된다.

모든 기수 μ에 대해 그보다 큰 도달 불가능 기수 κ가 존재한다는 공리가 있으며, 이는 도달 불가능 기수의 무한 열이 존재함을 보장한다. 이 공리는 그로텐디크와 베르디에의 'universe axiom'과 동치이며, ZFC 아래에서는 증명할 수 없다. ZFC에 'universe axiom'을 더한 공리계(ZFCU)는 범주가 요네다 매장을 가진다는 것을 증명하는 데 사용된다.

7. 1. 범주론

범주론에서, 도달 불가능한 기수와 그로텐디크 전체의 개념은 "큰" 범주의 집합론적인 문제를 피하기 위하여 쓰인다.^[20] 범주론에서 등장하는 여러 범주들 (집합의 범주

\operatorname{Set}

, 군의 범주

\operatorname{Grp}

, 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

, 위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

등)은 고유 모임의 크기를 갖는데, 이 때문에 이들을 대상으로 자유롭게 추가 연산을 하지 못한다. 이 경우, 어떤 그로텐디크 전체

\mathcal U

를 잡은 뒤,

\operatorname{Set}_{\mathcal U}

를

\mathcal U

속의 집합들의 범주,

\operatorname{Grp}_{\mathcal U}

를

\mathcal U

속의 군들의 범주 따위로 정의한다. 이 범주들은 집합을 이루지만, 원래 범주들과 거의 같은 성질들을 갖는다.

7. 2. 모델 이론

체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 도달 불가능 기수는 집합론의 모델을 구성하는 데 사용된다. 특히, 강 도달 불가능 기수 κ에 대해, ''V''_κ는 ZFC의 모델이 된다. 약 도달 불가능 기수 κ에 대해서는, 구성 가능 집합 ''L''_κ가 ZFC의 모델이 된다. 따라서, "약 도달 불가능 기수가 존재한다"는 명제는 ZFC의 무모순성을 함의하며, 괴델의 불완전성 정리에 의해 ZFC 내에서 그 존재를 증명할 수 없다. 즉, 도달 불가능 기수는 거대 기수의 일종이다.

''V''가 ZFC의 표준 모델이고 κ가 ''V''에서 도달 불가능 기수일 때, 다음이 성립한다.

''V''_κ는 ZF의 의도된 모델이다.
Def(''V''_κ)는 NBG 집합론의 의도된 모델이다. (여기서 Def(X)는 X의 Δ₀-정의 가능한 부분 집합이다.)
''V''_κ+1는 MK 집합론의 의도된 모델이다.

하지만 ''V''_κ가 ZF의 표준 모델이 되기 위해 κ가 반드시 도달 불가능 기수일 필요는 없다.

''V''가 ZFC의 모델일 때, ''V''가 강 도달 불가능 기수를 포함하지 않거나, κ가 ''V''에서 가장 작은 강 도달 불가능 기수라면, ''V''_κ는 강 도달 불가능 기수를 포함하지 않는 ZFC의 표준 모델이다. 따라서 ZFC가 무모순하면 ZFC + "강 도달 불가능 기수가 없다"도 무모순하다. 마찬가지로, ''V''가 약 도달 불가능 기수를 포함하지 않거나, κ가 ''V''에서 가장 작은 약 도달 불가능 기수라면, ''L''_κ는 약 도달 불가능 기수를 포함하지 않는 ZFC의 표준 모델이다. 따라서 ZFC가 무모순하면 ZFC + "약 도달 불가능 기수가 없다"도 무모순하다. 이는 ZFC가 도달 불가능 기수의 존재를 증명할 수 없음을 보여주며, ZFC는 도달 불가능 기수의 부존재와 모순되지 않는다.

ZFC가 도달 불가능 기수의 존재와 모순되지 않는지 여부는 더 미묘한 문제이다. "ZFC + 도달 불가능 기수가 있다"가 무모순하면 ZFC + "도달 불가능 기수는 존재하지 않는다"는 무모순하다는 증명은 ZFC 내에서 형식화될 수 있다. 그러나 "ZFC가 무모순하면 ZFC + 도달 불가능 기수가 존재한다"가 무모순하다"는 증명은 ZFC에서 형식화될 수 없다. 이는 괴델의 제2 불완전성 정리에서 비롯된다. ZFC + "도달 불가능 기수가 있다"는 ZFC의 무모순성을 함의하므로, 만약 이 이론이 자신의 무모순성을 증명할 수 있다면 모순이 발생한다.

집합론의 특정 모델 ''M''의 모든 서수 클래스가 ''M''을 확장하고 ''M''의 원소의 멱집합을 보존하는 더 큰 집합론 모델이 존재한다면, 그 자체가 도달 불가능 기수가 된다는 ZFC에서 형식화될 수 없는 논의가 있다.

참조

_[1] 논문 Zermelo and Set Theory https://math.bu.edu/[...] Bulletin of Symbolic Logic 2023-08-21
_[2] 논문 Analogues of the MacDowell-Specker_theorem for set theory 2024-03-09
_[3] 논문 Indescribable cardinals and elementary embeddings Journal of Symbolic Logic 1991
_[4] 논문 Indescribability Properties and Small Large Cardinals 1974
_[5] 서적 集合論独立性証明への案内日本評論社 2008
_[6] 서적 The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings Springer 2003
_[7] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003
_[8] 저널 On Grothendieck universes https://web.archive.[...] 2016-07-20
_[9] 저널 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable 1970-07
_[10] 저널 Can you take Solovay’s inaccessible away? 1984
_[11] 저널 Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen 1908
_[12] 저널 Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles http://matwbn.icm.ed[...] 1930
_[13] 저널 Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre http://matwbn.icm.ed[...] 1930
_[14] 서적 The philosophy of mathematics today https://global.oup.c[...] Clarendon Press 1998-11-05
_[15] 저널 Über unerreichbare Kardinalzahlen http://matwbn.icm.ed[...] 1938
_[16] 저널 Believing the axioms I 1988-06
_[17] 서적 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1963–64. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Tome 1: Théorie des topos (exposés I à IV) Springer-Verlag 2016-07-22
_[18] 서적 Reports of the Midwest Category Seminar III Springer-Verlag 1969
_[19] 저널 What is Cantor’s continuum problem? 1947-11
_[20] 저널 Set theory for category theory 2008

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